Gráfica 3 · Estado de esfuerzos en A

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Mecánica de materiales · Repaso de estado de esfuerzos

Estado de esfuerzos en el punto A

Del pizarrón: «Calcula el esfuerzo cortante y a flexión de la siguiente viga simplemente apoyada en los puntos que se indican». Estado de esfuerzos, repaso de cálculo de esfuerzos.

Qué muestra esta gráfica. Un elemento diferencial tomado en el punto A (corte 1, x = 1.2 m; 0.20 m arriba del EN; centro del ancho), amplificado y sacado de la viga, con los dos esfuerzos que ya se calcularon: σ_x por flexión sobre las caras perpendiculares al eje de la viga y τ_xy por cortante sobre las cuatro caras del plano x–y. Las caras z son libres. Las flechas no están a escala entre sí: τ es 17 veces menor que σ.

Capas

Tramo izquierdo (0 a 1.2 m)Tramo derecho (1.2 a 4 m)Deformada (exagerada)

0.10 m

La viga se dibuja con su curva elástica exagerada (flecha máxima de 0.10 m por omisión) solo para ver cómo flexiona; la deformación real es de milímetros. En 0 queda recta.

Componentes del estado de esfuerzos

Componente	Valor en A	De dónde sale
σ_x	−0.62 MPa	Flexión, Mc/I. Negativo = compresión (A está arriba del EN con M positivo).
τ_xy = τ_yx	37 kPa = 0.037 MPa	Cortante, VQ/(Ib). En la cara +x apunta hacia abajo, como V; en las caras ±y aparece el complementario.
σ_y	≈ 0	La teoría elemental de vigas desprecia el aplastamiento de la carga repartida.
σ_z, τ_xz, τ_yz	0	Caras laterales libres: estado plano de esfuerzos.

Elemento plano en A

Las flechas de τ giran el elemento en un sentido sobre las caras ±x y en el contrario sobre las caras ±y: así se equilibran los momentos (τ_xy = τ_yx).

Cálculo (resumen de las gráficas 1 y 2)

V = 8 kN, M = 16.8 kN·m, I = 5.4 × 10⁻³ m⁴, Q_A = 7.5 × 10⁻³ m³

σ_x = M·cI = (16.8 × 10³)(0.20)5.4 × 10⁻³ = 0.62 MPa (compresión)

τ_xy = V·QI·b = (8 × 10³)(7.5 × 10⁻³)(5.4 × 10⁻³)(0.30) = 37 kPa

Extra: esfuerzos principales en A

No forma parte del repaso del pizarrón; se incluye porque es el siguiente paso natural del estado de esfuerzos.

σ_prom = σ_x + σ_y2 = -0.311 MPa, R = √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²] = 0.313 MPa

σ₁ = σ_prom + R = +0.002 MPa · σ₂ = σ_prom − R = -0.624 MPa · τ_máx = R = 0.313 MPa

tan 2θ_p = 2τ_xyσ_x − σ_y → σ₂ actúa en el plano girado θ = 3.4° desde el eje x; σ₁ a -86.6°

Como τ es muy pequeño frente a σ, el círculo casi toca el origen: en A el estado es prácticamente compresión uniaxial a lo largo de la viga.

Ubicación de A que se usó

En el pizarrón A aparece como una raya; aquí es un punto al centro del ancho de la sección. Su altura es la que usa el cálculo del pizarrón: c = 0.20 m medido desde el eje neutro, igual que en Q = 30·10·25 (área de 10 cm arriba de A). Es decir, A queda a 0.10 m de la fibra superior.